ARGUMEN
Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan
oleh sekumpulan proposisi P1, P2,…..,Pn, yang disebut premis (hipotesa /
asumsi) dan menghasilkan ( sebagai konsekuensinya ) proposisi lainnya Q,
disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum argument ini di notasikan oleh:
P1, P2, …… , Pn I---- Q
Nilai kebenaran dari suatu argument di tentukan
sebagai berikut :
Suatu argumen P1,P2, ….. , Pn Q dikatakan
benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis yang benar dan argumen
dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy).
Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid
apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jika
semua premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis
benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid
(fallacy).
a.) argument yang valid
suatu argument dikatakan valid apa bila argument
tersebut mempunyai statement yang benar. Dan dapat dikatakan pula jika :
P, q --> q I---- q ( law of detachment
)
Contoh :
|
“Jika air laut surut setelah
gempa di laut, maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di
laut. Karena itu tsunami datang.”
|
Penyelesaian:
Misalkan :
p adalah
: proposisi “Air laut surut setelah gempa di laut” dan
q adalah
: proposisi “tsunami datang”.
Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai:
|
|
p ---> q
|
|
p
|
|
|
\
|
q
|
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk
membuktikan kevalid tan argumen ini. Keduanya menggunakan tabel kebenaran.
Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran
untuk p, q, dan p ---> q
Tabel kebenaran untuk p, q,
dan p ---> q
|
P
|
q
|
p ----> q
|
|
T
|
T
|
T ( baris 1 )
|
|
T
|
F
|
F ( baris 2 )
|
|
F
|
T
|
T ( baris 3 )
|
|
F
|
F
|
T ( baris 4 )
|
Argumen dikatakan valid jika semua
hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila
hipotesis p dan p ---> qbenar, maka
konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Periksa di
Tabel 1.15, p dan p ---> q benar secara
bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi,
argumen yang berbentuk modus ponen di atas valid.
Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah
[ p ^ (p ---> q)
] ---> p
merupakan tautologi. Tabel 1.16 memperlihatkan bahwa
[ p ^ (p ---> q)
] ---> p suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan
valid.
Tabel
1.16 [ p ^ (p ---> q)
] ---> p adalah tautology
|
P
|
q
|
p ----> q
|
p ^ ( p ^ q )
|
[ p ^ (p ^ q) ] ^ p ]
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam
argumen ini menggunakan modus ponen. Maka dari itu modus ponen termaksud
argumen yang valid.
b.) argument yang fallacy
suatu argument dikatakan fallacy apabila argument
tersebut mempunyai kesesatan atau ketidak benaran. Dan dapat dikatakan pula
jika :
p ---> q, q I----- p
contoh :
|
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka
tsunami datang.
Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa
di laut”
|
tidak benar, dengan kata lain argumennya
palsu.
Penyelesaian:
Maka argumen di atas berbentuk :
|
|
p ---> q
|
|
q
|
|
|
\
|
p
|
Bentuk tabel kebenaran untuk p, q,
dan p ---> q
|
p
|
q
|
p --> q
|
|
T
|
T
|
T ( baris 1 )
|
|
T
|
F
|
F ( baris 2 )
|
|
F
|
T
|
T ( baris 3 )
|
|
F
|
F
|
T ( baris 4 )
|
Dari Tabel tampak bahwa
hipotesis q dan p ---> q benar pada baris
ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah.
Jadi, argumen tersebut tidak valid atau palsu (
fallacy ), sehingga penalaran menjadi tidak benar.
Contoh 2 :
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
|
|
Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan
prima.
|
|
5 tidak lebih kecil dari 4.
|
|
|
\
|
5 adalah bilangan prima
|
Penyelesaian:
Misalkan p adalah proposisi “5 lebih kecil
dari 4” dan q adalah proposisi “5 adalah bilangan prima”. Maka
argumen di atas berbentuk:
|
|
p ---> ~q
|
|
~p
|
|
|
\
|
q
|
Tabel kebenaran untuk p ---> ~q,
~p, dan q
|
P
|
q
|
~q
|
p --> ~q
|
~p
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis
dan konklusi tersebut. Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di
mana p ---> ~q dan ~ p benar secara
bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah
(meskipun pada baris ke-3 konklusiq benar). Ini
berarti argumen tersebut palsu.
Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen
tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5 adalah bilangan prima”
adalah benar), tetapi konklusi dari argumen ini tidak sesuai dengan bukti bahwa
argumen tersebut palsu.
IMPLIKASI
LOGIKA (LOGICAL IMPLICATION)
-
Misalkan
P(p,q,…) dan Q(p,q,…) adalah proposisi. Maka
tiga kondisi di bawah ini adalah ekuivalen.
1. ~P(p,q,…)
Ú
Q(p,q,…) adalah tautologi.
2. P(p,q,…)
Ù
Q(p,q,…) adalah kontradiksi
3. P(p,q,…)
→ Q(p,q,…) adalah tautology
-
Suatu proposisi
P(p,q,…) disebut implikasi logic ke proposisi Q(p,q,…) dinyatakan dengan :
P(p,q,…)
→ Q(p,q,…)
Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku.
FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN
Misalkan P(x)
merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah
himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi
(dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
Contoh :
1. Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil
dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi
dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah
proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah
tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan
ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.
2. Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N,
yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x ÃŽ N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah
himpunan kebenarannya.
PENGUKUR
JUMLAH (QUANTIFIER)
Salah satu cara untuk menentukan nilai kebenaran
dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang disebut
pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya.
Pengukur jumlah tersebut adalah :
A.
Pengukur Jumlah Universal
Misalkan A sebuah
penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan
bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita
tuliskan ∀xA.
∀x disebut
pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan
sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x
dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah
tersebut. Simbol ∀
dibaca “Untuk semua”.
Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat
kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :
∀x
(Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))
B.
Pengukur Jumlah Eksistensial (∃)
Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu
variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk sedikitnya
satu nilai x, kita tuliskan ∃x
A, yang dibaca “Ada satu x yang memenuhi A”. ∃x disebut pengukur jumlah eksistensial
(existential quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari
pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas
(bound) dari pengukur jumlah tersebut.
Contohnya, jika domain berupa sekumpulan benda, maka
∃xBlue(x) menyatakan
bahwa “Ada benda yang berwarna biru”.
Semua pengukur jumlah tersebut diperlakukan seperti
operator uner, yang mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator
biner. Sebagai contoh, misalkan P(x) mewakili pernyataan “x hidup” dan Q(x)
untuk “x mati” maka
∀x
(P(x) ∨ Q(x)) diartikan bahwa
“semua hidup atau mati” tetapi
∀x
P(x) ∨ Q(x) diartikan “semua
hidup atau x mati”
Variabel x dalam suatu pengukur jumlah dapat
digantikan dengan variabel lain tanpa merubah arti dari seluruh pernyataan yang
diwakilinya. Misalkan ∀xP(x)
dengan ∀yP(y) adalah hal yang
sama; dan secara logika keduanya ekivalen. Pernyataan ∀yP(y) disebut sebagai
variant dari ∀xP(x).
Pengukur jumlah (quantifier) mungkin terjadi secara
bersarang. Dimana ada suatu pengukur jumlah dalam satu pernyataan yang
didalamnya mengandung suatu pengukur jumlah yang lain.
POSET
(Partially Ordered Set)
Himpunan Terurut Parsial
Sebelum melanjutkan pembahasan tentang diagram
poset,sebaiknya kita tahu dulu tentang apa itu poset (himpunan terurut secara
parsial.Dikatakan poset yaitu jika suatu relasi R pada himpunan P urut secara
parsial pada P, jika R tersebut
bersifat reflexive (mementul),antisymmertic(tolak
setangkup),dan transitive (menghantar)
1. Reflexive dengan syarat a R a untuk
setiap a Ñ” P.
2. Antisymmetric dengan syarat a R b dan b
R a maka a = b.
3. Transitive dengan syarat a R b dan b R
c maka a R c
Dalam suatu relasi R pengurutan parsial,dua benda
saling berhubungan.Jika salah satunya lebih kecil (<) atau lebih besar
(>) daripada atau lebih pendek (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat
atau kriteria tertentu.Istilah pengurutan (ordering) berarti bahwa benda-benda
didalam himpunan itu diurutkan menurut kriteria atau sifat tersebut.Akan tetepi
ada kemungkinan bahwa dua benda dalam himpunan tersebut tidak ada hubungan
dalam relasi pengurutan parsial.Dalam hal demikian,kita tidak dapat membedakan
keduanya dan tidak dapat mengidentifikasi mana yang lebih kecil atau mana yang
lebih rendah. Itulah alasan digunakan istilah “pengurutan parsial (partial
ordering)” atau bisa disebut dengan Poset yang dilambangkan
dengan (A,R).
Pengurutan parsial yang paling sering digunakan
adalah relasi ≤ atau ≥ pada himpunan A dan R.Karena jika kita berbicara secara
umum tentang pengurutan parsial R pada himpuna P maka yang akan sering kita
lihat atau sering kita gunakan adalah symbol ≥ dan ≤.
DIAGRAM
POSET
Pendefinisian tentang diagram poset ini adalah
sebuah grafik berarah yang vertex-verteksny adalah elemen-elemen dari S dan
terdapat sebuah edge (titik atau bulatan) dari a ke b kapan saja a < b dalam
S.Karena menggambarkan panah dari a ke b,kita seringkali menempatkan b lebih
tinggi dari a dan menggambarkan sebuah garis di antara mereka.Ini kemudian
diartikan bahwa pergerakan maju (ke atas) menyatakan succession
(rangkaian).Dalam diagram yang dibuat,ada sebuah path (gris edar) berarah dari
sebuah verteks (puncak) ke verteks y jika dan hanya jika x < y.Juga,mungkin
tidak ada cycle (putaran) berarah dalam diagram S karena relasi urutannya
antisimetris.Perhatikan juga bahwa diagram tidak harus terhubung. Misal (P,≤)
adlah sebuah poset.Jika P hingga,maka (P,≤) dapat dinyatakan dalam bentuk
diagram hasse yang tiap elemen diwakili oleh sebuah bulatan kecil atau titik.
